【和訳】OpenStax 物理 | 例題 1.4【College Physics 2e】

Example 1.4　Approximating Vast Numbers: a Trillion Dollars
例題 1.4　莫大な数を概算する：1兆ドル

2021年の米国連邦政府債務はおよそ 28 兆ドルであった。私たちの多くは「1兆」という数が実際にどれほど大きいかの概念を持っていない。ここで例えば、あなたが100ドル札でもって1兆ドルを渡されたとしよう。100枚ずつに束ね、その束をアメリカンフットボールのフィールド（エンドゾーンの間）に均等に並べたとき、札の山はどれほどの高さになるだろうか（フィールドの寸法がヤード単位で測られているため、ここではフィート／インチを用いる）。友人の一人は「3インチくらい」と言い、別の友人は「10フィート」と言う。あなたはどう思うか？

方策
解答
解説
出典

方策

この状況を想像すると、映画や銀行で見るような100枚入りの100ドル札の束が多数並んでいる様子を思い浮かべるだろう。こうした量は近似しやすいので、まずそこから始める。100枚札の束1つの体積を求め、それが1兆ドルを構成する束の数とどう関係するかを調べ、その体積を「フィールドの面積 × 高さ」という形に等しくおく。

解答

(1) 100枚札の束1つの体積を求める。1枚の札の大きさはおおよそ 3 in.×6 in. で、100枚重ねると厚さがおおよそ 0.5 in. である。したがって、束1つの体積は

$\text{体積} = 6\ \text{in.} \times 3\ \text{in.} \times 0.5\ \text{in.} = 9\ \text{in.}^3$

(2) 束の数を計算する。1兆ドルは

$$1\times10^{12}$

に等しく、100ドル札100枚の束（=1万ドル）は

$$1\times10^{4}$

に相当する。したがって、束の数は

$\frac{$1\times10^{12}}{$1\times10^{4}} = 1\times10^{8}\ \text{束}$

である。

(3) フィールドの面積を平方インチで求める。フィールドの大きさは 100 yd × 50 yd = 5 000 yd²。インチ単位に変換すると

$\text{面積} = 5,000\ \text{yd}^2 \times \frac{3\ \text{ft}}{1\ text{yd}} \times \frac{3\ \text{ft}}{1\ \text{yd}} \times \frac{12\ \text{in.}}{1\ \text{ft}} \times \frac{12\ \text{in.}}{1\ \text{ft}} \approx 6.48 \times10^{6}\ \text{in.}^2 \approx 6\times10^{6}\ \text{in.}^2$

(4) 札全体の体積を求める。

$9\ \text{in.}^3/\text{束} \times 1\times10^{8}\ \text{束} = 9\times10^{8}\ \text{in.}^3$

(5) 高さを求める。体積を面積で割ると高さが得られる：

$\text{高さ} = \frac{9\times10^{8}\ \text{in.}^3}{6\times10^{6}\ \text{in.}^2} \approx 1.33\times10^{2}\ \text{in.} \approx 100\ \text{in.}$

インチをフィートに換算すると

$100\ \text{in.} \times \frac{1\ \text{ft}}{12\ \text{in.}} \approx 8.33\ \text{ft} \approx 8\ \text{ft}$

解説

最終的な概算値は初期の「3インチ」という予想よりはるかに高いが、「10フィート（120インチ）」というもう一方の予想にはおおよそ近い。あなたの最初の予想と比べてどうであったか？この演習は、大まかな「当て推量」と慎重に行う数値近似の違いについて何を教えてくれるか？

出典

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